Was ist gram schmidt verfahren?

Gram-Schmidt-Verfahren

Das Gram-Schmidt-Verfahren ist ein Algorithmus aus der linearen Algebra, der eine Menge linear unabhängiger Vektoren in einem Vektorraum mit einem Skalarprodukt in eine <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/orthogonale%20basis" target="_blank">orthogonale Basis</a> transformiert. Durch anschließende Normierung der Vektoren erhält man eine <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/orthonormale%20basis" target="_blank">orthonormale Basis</a>.

Grundidee:

Die Idee des Gram-Schmidt-Verfahrens ist, aus den gegebenen Vektoren schrittweise neue, zueinander orthogonale Vektoren zu konstruieren. Dies geschieht, indem man von jedem Vektor die Projektionen auf die bereits orthogonalisierten Vektoren subtrahiert.

Der Algorithmus:

Gegeben sei eine linear unabhängige Menge von Vektoren {v<sub>1</sub>, v<sub>2</sub>, ..., v<sub>n</sub>}. Die orthogonalisierte Basis {u<sub>1</sub>, u<sub>2</sub>, ..., u<sub>n</sub>} wird wie folgt konstruiert:

  1. u<sub>1</sub> = v<sub>1</sub> (Der erste Vektor der ursprünglichen Basis wird unverändert übernommen.)

  2. Für i = 2 bis n:

    u<sub>i</sub> = v<sub>i</sub> - Σ<sub>j=1</sub><sup>i-1</sup> proj<sub>u<sub>j</sub></sub>(v<sub>i</sub>)

    wobei proj<sub>u<sub>j</sub></sub>(v<sub>i</sub>) = ((v<sub>i</sub> · u<sub>j</sub>) / (u<sub>j</sub> · u<sub>j</sub>)) * u<sub>j</sub> die <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/vektorprojektion" target="_blank">Projektion</a> von v<sub>i</sub> auf u<sub>j</sub> ist.

Normierung (optional):

Um eine orthonormale Basis {e<sub>1</sub>, e<sub>2</sub>, ..., e<sub>n</sub>} zu erhalten, werden die orthogonalen Vektoren u<sub>i</sub> normiert:

e<sub>i</sub> = u<sub>i</sub> / ||u<sub>i</sub>||

wobei ||u<sub>i</sub>|| die <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/vektornorm" target="_blank">Norm (Länge)</a> des Vektors u<sub>i</sub> ist.

Anwendungen:

  • Finden von orthogonalen und orthonormalen Basen
  • QR-Zerlegung von Matrizen
  • Lösen von <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/lineares%20gleichungssystem" target="_blank">linearen Gleichungssystemen</a>
  • Approximation von Funktionen